Berechne das Integral
\[ \int \tan^3(x) \; dx \]
Schreibe den Integranden \( \tan^3(x) \) als Produkt \( \tan x \tan^2 x \)
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \int \tan x \tan^2 x \; dx \]
Verwende die trigonometrische Identität \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \), um das Integral wie folgt zu schreiben
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) \; dx \]
Erweitere den Integranden und schreibe das Integral als Differenz von Integralen um
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \int \tan x \sec^2 x \; dx - \int \tan x \; dx \]
Verwende die Integration durch Substitution bei \( \displaystyle \int \tan x \sec^2 x \; dx \):
Setze \( u = \tan x \) und daher \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) oder \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} du \), um zu schreiben
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \int u \; \sec^2 x \; \dfrac{1}{\sec^2 x} du - \int \tan x \; dx \]
Vereinfache
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \int u du - \int \tan x \; dx \]
Berechne mit den Integralformeln \( \displaystyle \int u^2 du = (1/3) u^3 \) und dem Standardintegral \( \displaystyle \int \tan x \; dx = \ln |\sec x| \), um zu erhalten
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \dfrac{1}{2} u^2 - \ln |\sec x| + c \]
Setze \( \displaystyle u = \tan x \) zurück ein, um die endgültige Antwort zu erhalten
\[ \boxed { \int \tan^3(x) \; dx = \dfrac{1}{2} \tan^2 x - \ln |\sec x| + c } \]