Integral von \( \tan^3(x) \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \tan^3(x) \, dx \]

Schreiben Sie den Integranden \( \tan^3(x) \) als Produkt \( \tan x \tan^2 x \) um:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \tan^2 x \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \), um das Integral wie folgt zu schreiben:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) \, dx \]

Entwickeln Sie den Integranden und schreiben Sie das Integral als Differenz von Integralen um:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \sec^2 x \, dx - \int \tan x \, dx \]

Verwenden Sie die Integration durch Substitution in \( \displaystyle \int \tan x \sec^2 x \, dx \): Sei \( u = \tan x \), was \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) bzw. \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \) ergibt. Das Einsetzen hiervon liefert:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du - \int \tan x \, dx \]

Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \, du - \int \tan x \, dx \]

Berechnen Sie dies unter Verwendung der Standard-Integralformeln \( \displaystyle \int u \, du = \dfrac{1}{2} u^2 \) und des gängigen Integrals \( \displaystyle \int \tan x \, dx = \ln|\sec x| \):

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \dfrac{1}{2} u^2 - \ln|\sec x| + c \]

wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.

Setzen Sie \( u = \tan x \) wieder ein, um das Endergebnis zu erhalten: